Как построить график по точкам в mathcad. Графики в "маткаде" - построение и исследование

Типы графиков

В MathCAD встроено несколько различных типов графиков, которые можно разбить на две большие группы.

Двумерные графики:

X-Y (декартов) график (X-Y Plot);

Полярный график (Polar Plot).

Трехмерные графики:

График трехмерной поверхности (Surface Plot);

График линий уровня (Contour Plot);

Трехмерная гистограмма (3D Bar Plot);

Трехмерное множество точек (3D Scatter Plot);

Векторное поле (Vector Field Plot).

Создание графической области

В MathCAD имеется специальная панель Graph(График) для создания и отображения всего многообразия типов графиков. Для того, чтобы отобразить эту панель на экране монитора, нужно нажать кнопку на панели Math(Математика). Рассмотрим более подробно назначение кнопок на панели Graph(График) слева направо (рис. 25).

Рис. 6.1. Граф

– создание декартового графика;

– изменение масштаба выделенной области графика;

– определение координат выделенной точки на графике;

– создание полярного графика;

– создание графика трехмерной поверхности;

– создание контурного графика;

– создание трехмерной гистограммы;

– создание 3D разброса;

– создание векторного поля.

Для создания графической области в MathCAD имеется три способа. Первый способ создания с использованием панели инструментов Graph (График), второй – с помощью главного меню, третий – с помощью клавиатуры. Для создания графика любым из этих способов необходимо:

1) Поместить курсор ввода в то место документа, куда требуетсявставить график.

2) Создать координатную сетку для графика функции. Для этого выполнить одно из следующих действий:

· Нажать на панели Graph(График) кнопку с желаемым типом графика;

· На главной панели нажать следующую последовательность команд Insert(Вставить) /Graph(График) /Выбрать желаемый тип графика;

· Нажать на клавиатуре комбинацию клавиш в соответствии с табл. 4.

Таблица 4 Сочетание клавиш для создания графической зоны

Сочетание клавиш	Название шаблона	Пояснения
		Декартовый график
		Полярный график
		График поверхности
		Контурный график

Рис. 6.2. График

В результате в обозначенном месте документа появится пустая область графика с одним или несколькими местозаполнителями, которые нужно заполнить.

В случае двумерного графика необходимо ввести в помеченной позиции возле оси абсцисс имя аргумента, а в позиции возле оси ординат – имя функции. Если нужно одновременно построить графики нескольких функций, необходимо ввести их имена в позиции возле оси ординат, разделяя запятой (рис. 26). Вместо имени функции можно ввести выражение для ее вычисления.

Рис. 6.3. Построение

При построении трехмерного графика необходимо заполнить единственный

местозаполнитель в нижнем левом углу. В этот местозаполнитель следует ввести либо имя z функции z(x,y) двух переменных для быстрого построения трехмерного графика (рис. 27), либо имя матричной переменной z, которая задаст распределение данных z x , y на плоскости XY.

1) Нажать клавишу F9 или щелкните мышью за пределами рамки графической области для построения графика.

Масштабирование и считывание координат графика

1) Определение координат точек на графике

При необходимости, пользователь может узнать координаты (в пикселях) любой точки на графике. Для этого нужно выделить график и нажать клавишу на панели инструментов Graph(График). Появляется диалоговое окно X-Y Trace или Polar Trace (X–Y кривая или полярная кривая) (рис. 28). Затем следует установить указатель мыши на точки графика и прочесть координаты точек. При отметке поля Track data Points (Точки данных кривой) указатель мыши будет идти точно по кривой и отображать значения пробегающих точек. При нажатии кнопок Copy X (Копия Х) или Copy Y (Копия Y) в буфер будут сохранены значения координат x и y, появляющиеся в окошке X-Value (Величина X) и Y-Value (Величина Y) соответственно.

Рис. 6.4 Точки

2) Масштабирование выделенной области

Для увеличения размеров (масштабирования) некоторой интересующей области графика необходимо использовать команду Zoom (Увеличение) на панели инструментов

Graph(График). После выполнения команды появляется диалоговое окно X-Y Zoom или Polar Zoom (X-Y увеличение или полярное увеличение) (рис. 29), на графике выделяется область, которую нужно увеличить и нажимается кнопка Zoom (Увеличить).

Рис. 6.5 Увеличение

В результате выделенная область будет отображаться на все окно графика. При необходимости команду можно повторить.

Кнопка Unzoom (Отменить увеличение) позволяет отменить увеличение выделенной области. Кнопка Full View (Полный вид) дает возможность вернуть эту область в первоначальный вид.

3) Изменение исходных размеров графиков

Изменять размер окна, в котором изображен график функции, можно в вертикальном, горизонтальном и диагональном направлениях (рис. 30).

Рис. 6.6 Изменение размера

Для изменения размеров рисунка нужно точно подвести графический курсор к специальным меткам на рамке, выделяющей рисунок. Эти метки имеют вид маленьких черных прямоугольников. Изображение курсора при этом заменяется на двухстороннюю стрелку, указывающую, в каких направлениях возможно изменять размер графика. Нажав левую клавишу мыши, можно захватить соответствующую сторону или угол шаблона рисунка и, не отпуская клавишу, начать растягивать или сжимать рамку шаблона. После того как клавиша будет отпущена, рисунок перестроится в новых размерах.

4) Перемещение и удаление графика

Для перемещения графика необходимо:

1) Заключить график в пунктирный выделяющий прямоугольник. Для этого нужно щелкнуть левой клавишей мыши вне зоны графика и, удерживая ее нажатой, переместить мышь таким образом, чтобы появляющийся пунктирный прямоугольник охватил весь график, после чего отпустить клавишу мыши.

2) Переместить его мышью на новое место. Для этого необходимо подвести курсор к рамке графика и как только курсор изменит внешний вид «со стрелочки на ладошку», нажать левую клавишу мыши и переместить рисунок на желаемое место, после чего отпустить клавишу мыши.

Для удаления графика нужно:

1) Щёлкнуть на графике, чтобы выделить его;

2) Выполните команду Cut (Удалить)из меню Edit (Правка).

После удаления графикаMathCAD оставляет пустое поле.

Форматирование графиков

1) Форматирование декартового графика

Для форматирования графика нужно дважды щелкнуть мышью по полю графика. MathCAD откроет диалоговое окно для форматирования графиков, которое имеет четыре вкладки:

1) С помощью закладки X-Y Axes(X-Y оси) (рис. 31) формируется форма и вид ее осей.

Log Scale (Лог. масштаб) – установка логарифмического масштаба;

Grid Lines (Линии сетки) – установка линий масштабной сетки;

Numbered (Пронумеровать) – установка цифровых данных но осям;

Аutoscale (Автомасштаб) – автоматическое масштабирование графика;

Show Markers(Нанести риски) – установка делений по осям для добавления к графику фоновых линий (асимптот, граничных значений и т.д.); На каждой из осей

допускается установить по два маркера.

Если определен лишь один из них, то второй виден не будет.

Auto Grid(Автосетка) – автоматическая установка масштабных линий. Если флажок Auto Grid(Автосетка) стоит, то число интервалов на оси выбирается автоматически, если нет, то это число устанавливается пользователем в поле Number of Grids (Число интервалов) от 2 до 99;

Рис. 6.7. Установка масштабных линий

Number of Grids (Число интервалов) – установка заданного числа масштабных линий.

Установка стиля осей выполняется кнопками:

Boxed (Рамка) – оси в виде прямоугольника;

Crossed (Репер) – оси в виде креста;

None (Ничего) – отсутствие осей;

Equal Scales (Равные деления) – установка равенства масштабов по осям графика.

2) С помощью закладки Traces (Графики) (рис. 32) форматируют изображаемые на графике кривые.

На графике может располагаться до 16 кривых. Свойства выделенной кривой помещаются в строку редактирования (внизу), которая имеет следующие поля:

Legend Label(Имя кривой) – указание названия кривой для легенды;

Symbol (Маркер) – он указывает каким символом отмечать узловые точки на графике (он может принимать одно из следующих значений: none (без отметки), x’s

(наклонный крестик), +’s (прямой крестик), box (квадрат), dmnd (ромбик) и o’s (окружность));

Line(Линия) – устанавливает тип линии на графике: solid (сплошная), dot (точки), dash (штриховая) и dadot (штрих пунктирная);

Color(Цвет) – устанавливает цвет кривой: red (красный), blu (голубой), grn (зеленый), mag (сиреневый), cya (небесно-голубой), brn (коричневый), blk (черный) и wht (белый);

Рис. 6.8 Линии

Туре (Тип) — устанавливает тип графиков: lines (кривая), points (точечный), error (интервал ошибок двух функций: построение вертикальными черточками с оценкой интервала погрешностей), bar (прямоугольный – построение в виде столбцов гистограмм), step (ступенчатый), draw (прямолинейный) и stem (стержневой);

Weight(Толщина) – управляет толщиной графика (от 1 до 9);

Еще две опции связаны с возможностью удаления с графика вспомогательных надписей:

Hide Argument(Скрыть переменные) – прячет обозначения математических выражений по осям графика;

Hide Legend(Скрыть имена) – прячет обозначения имен кривых графика.

3) Закладка Label(Надписи) (рис. 33) позволяет вводить в рисунок дополнительные надписи. Эта панель появляется, если уже создан текущий график.

Для установки надписей служат небольшие окошки:

Title (Заголовок) – установка титульной надписи к рисунку;

Х-Axis(Х-ось) – установка надписи но оси Х;

Y-Axis(Y-ось) – установка надписи no оси Y.

Рис. 6.9. Установка надписей

В разделе Title(Заголовок)содержатся опции Above (Сверху) и Below(Снизу) для установки титульной надписи либо над рисунком, либо под ним. Активизация этих опций задается установкой жирной точки в кружке. Кроме того, опция Show Title(Показать заголовок) позволяет включать или выключать отображение титульной надписи. Для ее активизации служит квадратное окошко (пустое – при отказе от вывода надписи и с крестом – при выводе надписи).

4) С помощью закладки Defaults (Умолчание) (рис. 34) можно изменять значения по умолчанию (это один из способов создать новый набор значений по умолчанию).

Используются две установки:

Кнопка Change to Defaults (Вернуть значения по умолчанию), позволяющая отменить все изменения, сделанные в процессе форматирования графика;

Поле выбора Use for Defaults (Использовать для значений по умолчанию), с помощью которого создается набор значений умолчания.

Таким образом, форматирование графика дает возможность модифицировать шаблон под требования пользователя.

Рис. 6.10. Установки

2) Форматирование трехмерных графиков

При двойном щелчке по шаблону графика появляется диалоговое окно 3D Plot Format(Формат 3D–графика) (рис. 35). Оно содержит следующие закладки:

· General(Общие) – общие параметры изображения;

· Axes (Оси) – установка опций представления осей;

· Appearance(Вид) – параметры отображения графика (цвет линий и тип точек, используемых при построении фигур и поверхностей);

· Lighting(Освещение) – параметрыусловий и схемы освещения;

· Title(Заголовок) – титульные надписи и их параметры;

· Backplanes(Грани) – параметры граней;

· Special(Специальные) – контурные линии, столбцы, интерполяция по свету и др.);

· Advanced(Дополнительно) – перспектива, световые эффекты, качество печати и др.);

· QuickPlot Data (Быстрое построение графика по данным) – параметры быстрого построения графиков.

Закладка General

Закладка General(Общие) содержит следующие группы (рис. 35).

View(Вид):

Рис. 6.11 Формирование

Ø Rotation(Вращение) – задание угла поворота (от 0 до 360 градусов);

Ø Tilt (Наклон) – задание угла наклона (от 0 до 180 градусов);

Ø Twist (Вращение) – задание угла вращения (от 0 до 360 градусов);

Ø Zoom(Масштаб) – относительный размер (по умолчанию 1).

Axes Style(Стиль осей):

Ø Perimeter(Периметр);

Ø Corner (Угол);

Ø None(Отсутствуют);

Ø флажок Equal Scales(Равные масштабы) задает равные масштабы по всем осям.

Frames(Обрамление):

Ø Show Border (Показать границы) – рамка вокруг графика;

Ø Show Box (Показать параллелепипед) – параллелепипед, обрамляющий график.

Рис. 6.12. Формирование 2

Plot 1– переключатели для выбора типа трехмерного графика:

Ø Surface Plot (График поверхности);

Ø Contour Plot (Контурный график);

Ø Data Points (Точки данных);

Ø Vector Field Plot (Векторное поле);

Ø Bar Plot (Гистограмма);

Ø Patch Plot («Лоскутный» график).

Закладка Axis

Закладка Axis (Оси) содержит группы (рис. 36).

Grids (Сетка) – позволяет установить формат координатной сетки:

Ø флажок Draw Lines (Линии сетки) – вывод линий сетки;

Ø флажок Draw Тics (Построение делений) – вывод делений на осях;

Ø флажок Аutо Grid (Автосетка) – автоматический выбор числа линий;

Ø поле Line Color (Цвет линий) – задание цвета линий;

Ø поле Number (Число) – задание количества делений;

Ø поле Line Weight (Толщина линий) – задание толщины линий сетки.

Axis Format (Формат осей) – позволяет установить формат координатных осей:

Ø Show Numbегs (Показать числа) – оцифровка осей;

Ø Axis Color (Цвет осей) – задание цвета осей;

Ø Axis Weight (Толщина линий) – установка толщины линий осей.

Axis Limits (Предельные значения по осям) – позволяет задать пределы изменения координат:

Ø флажок Auto Scale (Автоматическое масштабирование) – автоматическая установка масштаба;

Ø поле Minimum Value (Минимальное значение) – минимальное значение координаты;

Ø поле Maximum Value (Максимальное значение) – максимальное значение координаты.

Закладка Appearance

Закладка Appearance(Вид) содержит группы (рис. 37):

Ø Fill Options(Параметры закрашивания) – установка параметров окраски поверхностей и контурных линий;

Ø Line Options (Параметры линий) – установка параметров отображе­ния линий и их окраски;

Ø Point Options (Параметры точек) – установка параметров представления точек разными символами и их окраски.

Рис. 6.13. Формирование 3

В каждой группе имеются переключатели для выбора схемы окраски Colormap (Цветовая карта) или Solid Color (Основной цвет).

Закладка Lighting

Здесь можно задать эффект освещения трехмерной поверхности. Нередко это придает таким объектам более реалистичный вид. Можно включить освещение (флажок Еnаble Lighting) и выбрать схему освещения. Имеется возможность установить параметры осветителя (в том числе удаленного в бесконечность), учесть диф

фузию света, а также выбрать некоторые другие параметры.

Закладка Backplanes

Здесь представлены три вкладки с параметрами форматирования граней трехмерного рисунка: XY–Васkрlаnе, YZ–Васkрlаnе и XZ–Васkрlаnеs. На этих вкладках имеется два основных флажка:

Ø Fill Backplane (Закрашивание грани) – закраска соответствующей грани;

Ø Backplane Border (Обрамление грани) – задание обрамления грани.

Кроме того, имеются группы параметров для задания сетки на гранях: Grid (Сетка) и Subgrid (Подсетка). При установке цветов появляется диалоговое окно выбора цвета.

Закладка Special

Эта закладка служит для задания различных специальных эффектов. Параметры этой вкладки являются контекстно зависимыми, поэтому их изменение возможно только для определенных видов графики. Например, доступ к параметрам группы Ваr Plot Layout возможен только для гистограмм, то есть (см. выше закладка General(Общие)) только при установке переключателя Ваr Plot (Гистограмма) на вкладке General(Общие).

Закладка Advanced

Наиболее важные параметры собраны в группе Advanced View Options(Дополнительные параметры отображения):

Ø Еnable Fog(Включение дымки) – включение эффекта дымки (тумана);

Ø Perspective(Перспектива) – отображение поверхности в перспективе;

Ø Vertical Scale (Вертикальный размер) – установка масштаба по вертикали;

Ø Viewing Distance (Расстояние до глаза) – установка расстояния, с которого рассматривается фигура.

Закладка QuickPlot Data

Она позволяет настроить основные параметры для быстрого построения трехмер­ных графиков без задания матриц аппликат поверхностей. Здесь размещается три группы параметров: Range 1 (Пределы 1) – задание пределов по одному параметру; Range 2 (Пределы 2) – задание пределов по другому параметру; Coordinate System (Система координат) – выбор одной из трех систем координат. .

Mathcad допускает создание новых функций от одного и более аргументов. Определение функции записывается в строчку в следующем порядке:

1. Имя новой функции. На имена функций распространяются те же правила, что и на имена переменных.

2. Список аргументов в круглых скобках через запятую.

3. Стандартный символ присваивания «:= ».

4. Выражение, определяющее значение функции от аргументов.

Обращение к функции записывается в традиционной математической форме: упоминание имени функции, сразу после которого идет список значений аргументов в круглых скобках через запятую.

Пример 1.

Возможно построение следующих типов графиков:

1. Линейный (в прямоугольных (декартовых) и полярных координатах).

2. Поверхность.

3. Линии уровня поверхности.

4. 3D столбиковая диаграмма.

5. 3D точечный и векторный графики.

Для построения любого графика необходимо сначала определить на листе все данные, необходимые для построения, затем вставить на лист соответствующий графический регион и связать его с отображаемыми данными. Для вставки графического региона можно использовать соответствующие кнопки панелиMath Graph либо выбрать требуемый пункт в верхнем меню Insert Graph (Вставка График ). Связь с отображаемыми данными производится путем указания этих данных в позициях ввода графического региона.

Рассмотрим более подробно команды меню Math Graph (слева изображены соответствующие кнопки панели Graph ):

X-Y Plot (Декартов график ) клавиша @. Служит для построения графика функции y =f (x ) в виде связанных друг с другом пар координат (x i , y i ) при заданном промежутке изменения для i .

Polar Plot (Полярный график ) клавиши Ctrl+7. Служит для построения графика функции r (q ), заданной в полярных координатах, где полярный радиус r зависит от полярного угла q .

Surface Plot (График поверхности ) клавиши Ctrl+2. Служит для представления функции z =f (x , y ) в виде поверхности в трехмерном пространстве. При этом должны быть заданы векторы значений x i и y j , а также определена матрица вида A i,j = f (x i , y j ). Имя матрицы A указывается при заполнении рамки-шаблона.

Contour Plot (Карта линий уровня ). Строит диаграмму линий уровня функции вида z =f (x , y ), т. е. отображает точки, в которых данная функция принимает фиксированное значение z =const.

3D Bar Plot (3D Столбиковая гистограмма ). Служит для представления матрицы значений A i,j z =f (x , y ) в виде трехмерной столбчатой диаграммы.

3D Scatter Plot (3D Точечный график ). Служит для точечного представления матрицы значений A i,j или отображения значений функции z =f (x , y ) в заданных точках. Эта команда может также использоваться для построения пространственных кривых. В этом случае при заполнении рамки-шаблона можно задать три координаты отдельными векторами одинаковой размерности в виде .

Vector Field Plot (Векторное поле ). Служит для представления двухмерных векторных полей V =(V x , V y ). При этом компоненты векторного поля V x и V y должны быть представлены в виде матриц. При помощи этой команды можно построить поле градиента функции f (x , y ).

Двумерные графики. Для регионов линейных графиков (рис. 1) заполняются две основные позиции ввода - слева и снизу от графика.

а ) б )

Рис. 1. Вид региона для линейного графика до (а ) и после (б ) заполнения одной из основных позиций ввода

В нижней позиции 2 указывается выражение, определяющее значения абсцисс графика. Выражение - имя последовательности, вектора или обычной переменной. Может быть несколько выражений через запятую. При необходимости можно указать в дополнительных позициях 3 и 4 минимальное и максимальное значения.

В позиции 1 указывается выражение, определяющее значения ординат графика. Можно перечислить несколько выражений через запятую - в этом случае будет построено несколько графиков в одних координатах. Выражения обычно являются функциями от аргумента, указанного в позиции 2. Тем не менее, могут быть построены и графики от двух функций заданных параметрически, в этом случае в позициях 1 и 2 указываются имена этих функций (рис. 2).

Рис. 2. Фрагмент листа Mathcad с линейными графиками двух функций (параметрической (x (t ); y (t )) и обычной f (t ))

Форматирование двумерных графиков. Для вывода окна форматирования двухмерного графика достаточно поместить указатель мыши в область графика и дважды щелкнуть левой кнопкой мыши. В окне документа появится окно форматирования (рис. 4).

Оно имеет ряд вкладок:

-X-Y Axes (Оси X-Y );

-Traces (Трассировки );

-Labels (Метки );

- Defaults (Умолчание ).

Вкладка становится активной, если установить на ее имя указатель мыши и щелкнуть левой кнопкой.

Первая из вкладок X-Y Axes (Оси X-Y ) позволяет форматировать оси координат:

-Log Scale (Логарифмическая шкала ) - задает логарифмические оси, в этом случае границы графика должны задаваться положительными числами;

- Grid Lines (Вспомогательные линии ) - задает отображение сетки;

- Numbered (Нумерация ) - задает отображение подписи к маркировкам на осях;

- Autoscale (Автомасштаб ) - задает автоматическое нахождение подходящих границ для осей. Но если вы сами зададите в соответствующих ячейках минимальные и максимальные значения x min , x max , y min , y max , именно эти значения будут использоваться для определения границ графика;

- Show Markers (Показать метки ) - если установить эту опцию, то в графической области появятся четыре дополнительные ячейки для создания красных линий маркировки, соответствующих двум специальным значениям x и двум специальным значениям y ;

- Auto Grid (Авто сетка ) - при установке этой опции число линий сетки определяет Mathcad.

- Axes Style (Стиль осей графика ) - группа кнопок этой области позволяет выбрать следующие варианты представления осей: Boxed (Ограниченная область ), Crossed (Пересечение ) - оси пересекаются в точке с координатами (0; 0), None (Без границ ). Флажок Equal Scales (Равные масштабы ) позволяет задать одинаковый масштаб для обеих осей.

Форматирование оси графика можно произвести, выполнив на ней двойной щелчок.

Для изменения типа линий графиков необходимо активизировать вкладку Traces (Трассировки )(рис. 5):

- Legend Lable (Легенда ) - каждой кривой можно поставить в соответствие некоторый текст, называемый легендой. Легенда отображается в нижней части графической области, а рядом с каждой легендой отображается тип линии соответствующей кривой;

- Symbol (Символ ) - позволяет выбрать символ для каждой точки кривой (плюс, крестик, кружок и др.);

- Line (Линия ) - можно выбрать один из следующих типов линий: solid (сплошная), dash (штриховая), dot (точечная) или dadot (штрихпунктирная). Это поле списка доступно в случае, если в поле Type (Тип ) выбран элемент lines;

- Color (Цвет ) - задается цвет представления кривой на экране;

- Type (Тип ) - позволяет выбрать один из видов графика: в виде линий, в виде точек и т. п.;

- Weight (Вес ) - позволяет задавать толщину линий графика.

В нижней части вкладки Traces расположены опции:

- Hide Arguments (Скрыть аргументы ) - эта опция по умолчанию отключена. В этом случае под именем функции рядом с осью ординат указывается текущий тип линий. Если установить данную опцию, указание типа линий исчезнет;

- Hide Legend (Скрыть легенду ) - по умолчанию легенда не отображается. Если вы хотите отобразить под графиком текст легенды, его необходимо перед этим ввести в поле Legend Lable (Легенда ) и подтвердить ввод, выполнив щелчок на кнопке Применить .

Вкладка Labels (Метки ) позволяет ввести заголовок графика и подписи для осей (рис. 6).

В меню Format Graph (Формат График ) содержится команда Zoom (Изменение масштаба ). При помощи этой команды можно увеличить фрагмент графика, предварительно выделив его протаскиванием мышки с нажатой левой клавишей. После отпускания клавиши координаты углов выделенной области будут отображены в полях окна X-Y Zoom (рис. 7). При помощи кнопки Zoom (Масштаб + ) фрагмент можно увеличить, при помощи кнопки Unzoom (Масштаб – ) отменить выделение фрагмента, а при помощи кнопки Full View (Обзор ) - восстановить первоначальный вид графика. Если вы увеличили фрагмент графика, то при щечке на кнопке OK в документе будет отображаться только этот фрагмент.

Трехмерные графики. Построение графика функции z =f (x , y ) в виде поверхности в декартовой системе координат. Для построения графика поверхности можно воспользоваться двумя способами:

1. Необходимо определить функцию f (x , y ) и на панели Graph выбрать Surface Plot (График поверхности ). В появившейся графической области под осями на месте шаблона для ввода надо указать имя (без аргументов) функции. Независимые переменные x и y принимают значения из промежутка [–5; 5] (рис. 8).

При необходимости этот промежуток может быть уменьшен или увеличен. Для этого необходимо дважды щелкнуть правой кнопкой мыши по выделенному графику и в появившемся окне 3D Plot Format (Формат 3D графика ) на вкладке QuickPlot Data можно установить другие параметры изменения независимых переменных x и y (рис. 9).

2. Для построения графика поверхности в определенной области изменения независимых переменных или с конкретным шагом их изменения необходимо сначала задать узловые точки x i и y j , в которых будут определяться значения функции. После (а можно и до) этого надо определить функцию f (x , y ), график которой хотите построить. После этого необходимо сформировать матрицу значений функции в виде: A i,j =f (x i , y j ) (рис. 10).

Теперь после выполнения команды Graph Surface Plot в появившейся графической области достаточно ввести имя матрицы (без индексов).

3. Также для построения графика поверхности в определенной области изменения независимых переменных или с конкретным шагом их изменения можно использовать функцию:

M:=CreateMesh(f,xn,xk,yn,yk,s1,s2),

где f - функция, определяющая поверхность; xn , xk , yn , yk - начальные и конечные значения независимых переменных x и у ; s1 , s2 - размерность сетки.

После выполнения команды Graph Surface Plot в появившейся графической области вводится имя переменной (в данном случае M ).

Построение графика кривой в пространстве. Трехмерные точечные графики можно использовать для построения изображения пространственных кривых. Пространственные кривые задаются, как правило, в виде (x (t ), y (t ), z (t )), где t представляет собой непрерывный действительный параметр (рис. 11).

Поскольку при построении трехмерной точечной диаграммы Mathcad позволяет отображать на графике только отдельные точки и соединяющие их линии, необходимо сначала определить три вектора координат - x i , y i , z i . Пространственная кривая создается командойGraph Scatter Plot .

Форматирование трехмерных графиков. Если вас не устраивает внешний вид созданного трехмерного графика, вы можете изменить его, выполнив команду Format -> Graph -> 3D Plot или выполнив двойной щелчок мышкой на графической области. В результате на экране появится диалоговое окно 3D Plot Format , позволяющее изменять параметры отображения графика. Мы рассмотрим здесь основные опции. Разобраться во всех тонкостях управлением видом графика вы можете самостоятельно, построив график и поэкспериментировав, выбирая те или иные опции.

Диалоговое окно 3D Plot Format содержит несколько вкладок (рис. 12).

На вкладке General (Общее ):

В области View (Вид ) можно задать направление взгляда наблюдателя на трехмерный график. Значение в поле Rotation определяет угол поворота вокруг оси Z в плоскости X -Y . Значение в поле Tilt задает угол наклона линии взгляда к плоскости X -Y . Поле Zoom позволяет увеличить (уменьшить) графическое изображение в число раз, равное цифре, указанной в поле;

В области Axes Style (Стиль осей ) задать вид осей, выбрав селекторную кнопку Perimetr (Периметр ) или Corner (Угол ). В первом случае оси всегда находятся на переднем плане. При выборе кнопки Corner точка пересечения осей Ox и Oy задается элементом A 0,0 матрицы A ;

В области Frames (Границы графика ) опция Show box (Каркас ) предназначена для отображения вокруг графика куба с прозрачными гранями, а опция Show border (Границы ) позволяет заключить график в прямоугольную рамку;

В области Plot 1 (Plot 2...) Display as: (График 1 Показывать как: ) имеются селекторные кнопки для представления графика в других видах (контурный, точечный, векторное поле и др.);

Элементы вкладки Axes (Ось ) позволяют изменять внешний вид осей координат (рис. 13).

Посредством опций области Grids (Сетки ) можно отобразить на графике линии, описываемые уравнениями x , y , z = const.

Если установлены опции Show Numbers (Нумерация ), отображаются метки на осях и подписи к ним.

При этом рядом с осями Ox и Oy указываются не значения узловых точек x i , y j , а значения индексов i и j , в то время как ось Oz размечается в соответствии с промежутком, которому принадлежат элементы матрицы значений A i,j .

Если установлена опция Auto Grid (Авто сетка ), программа самостоятельно задает расстояние между соседними отметками на осях. Вы можете сами указать число линий сетки, если отключите указанную опцию.

Если установлена опция Auto Scale (Авто шкала ), то Mathcad сам определяет границы построения графика и масштабы по осям. Можно отключить данную опцию и для каждой оси самостоятельно задать пределы изменения переменных в полях Minimum Value (Минимум ) и Maximum Value (Максимум ).

Вкладка Appearance (Внешний вид ) позволяет изменять для каждого графика вид и цвет заливки поверхности (область Fill Options ); вид, цвет и толщину дополнительных линий на графике (область Line Options ); наносить на график точки данных (опция Draw Points области Point Options ), менять их вид, размер и цвет.

Вкладка Lighting (Освещение ) при включении опции Enable Lighting (Включить освещение ) позволяет выбрать цветовую схему для освещения, установить несколько источников света, выбрав для них цвет освещения и определив его направление.

Вкладка Backplanes (Основание ) позволяет изменить внешний вид плоскостей, ограничивающих область построения: цвет, нанесение сетки, определение ее цвета и толщины, прорисовка границ плоскостей.

На вкладке Special (Специальный ) можно изменять параметры построения, специфичные для различных типов графиков.

Вкладка Advansed (Дополнительно ) позволяет установить параметры печати и изменить цветовую схему для окрашивания поверхности графика, а также указать направление смены окраски (вдоль оси Ox , Oy или Oz ). Включение опции Enable Fog (Наличие тумана ) делает график нечетким, слегка размытым (полупрозрачным). При включении опции Perspective (Перспектива ) появляется возможность указать в соответствующем поле расстояние до наблюдателя.

Похожая информация.

Для построения графиков в Mathcad можно воспользоваться функцией Вставка > График > Тип графика или панелью инструментов График (Рис.1. 18). Поддерживаются следующие типы графиков:

При выборе режима построения двумерного графика в координатных осях Х-У на рабочем листе создается шаблон (Рис.1. 19) с полями-заполнителями для задания отображаемых данных по осям абсцисс и ординат (имена аргументов и функций или выражения для них, а также диапазоны изменения значений). Заполнитель у середины оси координат предназначен для переменной или выражения, отображаемого по этой оси.

Рис.1. 19 Пустой шаблон двумерного графика.

Заполнители для граничных значений появляются после ввода аргумента и/или функции. Граничные значения по осям выбираются автоматически в соответствии с диапазоном изменения величин, но их можно задать, щелкнув в области соответствующих полей-заполнителей и изменив значения в них.

На Рис.1. 20 показан заполненный параметрами шаблон, причем диапазоны значений по осям определены вручную. Отметим, что эти значения видны только в режиме редактирования графика (наличие углового курсора на рисунках свидетельствует, что блок с графиком в данный момент выделен).

Рис.1. 20 Двумерный график.

По оси абсцисс откладывается переменная, задав для нее граничные значения (как на Рис.1. 20). В заполнителях у оси ординат обычно помещают функции, выражения или векторы.

В одной графической области можно построить несколько графиков. Для этого надо у соответствующей оси перечислить несколько выражений через запятую (Рис.1. 21).

Рис.1. 21. Построение двух графиков в одной координатной системе.

Разные кривые изображаются разным цветом, а для задания формата элементов графика надо дважды щелкнуть на области графика. Для управления отображением построенных линий служит вкладка Следы (Traces) в открывшемся диалоговом окне (Рис.1. 22). Текущий формат каждой линии приведен в списке, а под списком расположены элементы управления, позволяющие изменять формат. Поле Метка легенды (Legend Label) задает описание линии, которое отображается только при сбросе флажка "Скрыть описание" (Hide Legend). Список Символ (Symbol) позволяет выбрать маркеры для отдельных точек, список Линия (Line) задает тип линии, список Цвет (Color) - цвет. Список Тип (Туре) определяет способ связи отдельных точек, а список Размер (Width) - толщину линии.

Рис.1. 22. Задание типов линий графиков.

Аналогичным образом строится и форматируется график в полярных координатах, а для графиков других типов предварительно следует создать матрицы значений координат точек.

Чем точнее выбрано начальное приближение корня, тем быстрее будет root сходиться.

Для изменения точности, с которой функция root ищет корень, нужно изменить значение системной переменной TOL. Если значение TOL увеличивается, функция root будет сходиться быстрее, но ответ будет менее точен. Если значение TOL уменьшается, то функция root будет сходиться медленнее, но ответ будет более точен. Чтобы изменить значение TOL в определенной точке рабочего документа, используйте определение вида TOL=0.01. Чтобы изменить значение TOL для всего рабочего документа, выберите команду Инструменты  Опции рабочего листа…  Встроенные переменные  Допуск сходимости (TOL) .

Рис.1. 23. Задание точности вычислений.

Если два корня расположены близко друг от друга, следует уменьшить TOL, чтобы различить их.

Если функция f (x ) имеет малый наклон около искомого корня, функция root (f (x ), x ) может сходиться к значению r , отстоящему от корня достаточно далеко. В таких случаях для нахождения более точного значения корня необходимо уменьшить значение TOL.

Для выражения f (x ) с известным корнем а нахождение дополнительных корней f (x) эквивалентно поиску корней уравнения h (x ) = f (x )/(x - a ). Подобный прием полезен для нахождения корней, расположенных близко друг к другу. Проще искать корень выражения h (x ), чем пробовать искать другой корень уравнения f (x ) = 0, выбирая различные начальные приближения.

MathCad обладает прекрасными графическими возможностями. Для работы с графикой необходимо отрыть панель Graph (Графические), на которой изображены различные типы графиков. В первую очередь, нас будет интересовать декартов график (самый первый на панели График ).

Задача 10. Построить график функции y=сos(x) на отрезке c шагом 20 0 .

Прежде всего, подготовим данные для построения графика. Для этого запишем х как дискретную переменную, учитывая, что аргументом тригонометрической функции могут быть только радианы, а тригонометрическую функцию запишем как функцию пользователя.

Программа в MathCad:

Пользователю необходимо заполнить только нижнее центральное поле и центральное поле с левой стороны графика, а затем щелкнуть курсором в любом месте за пределами графика (остальные поля заполняются автоматически). Тогда, график будет иметь вид:

Полученная картинка − машинный график функции косинуса, который можно отформатировать. Для этого необходимо один раз щелкнуть по графику левой клавишей мышки (сделать его активным) и воспользоваться меню: Формат=>График=>График Х-Y (есть и второй более простой вариант − два раза быстро щелкнуть левой клавишей мышки по графику). В результате появиться окно, которое называется Formatting Correntu Selected X-Y (Форматирование выбранного графика) . Окно имеет несколько вкладок:

Первая вкладка: X-Y-Axes (оси Х-Y) позволяет работать c осями. Рассмотрим по порядку имеющиеся поля:

Log Scale (Логарифмический масштаб) – позволяет включить логарифмическую шкалу по оси Х или Y. Полезно использовать, если данные меняются на несколько порядков.

Grind Lines (Линии сетки) – позволяет включить сетку (точнее автосетку) по оси Х и Y. Число линий сетки задается автоматически. Цвет сетки (первоначально зеленый) можно изменить, используя поле, расположенное слева от надписи.

Numbered (Нумерация) − позволяет вывести значения Х или У по сторонам прямоугольной области.

Autoscale (Автомасштабирование) – позволяет автоматически выбрать диапазон осей.

Show Markers (Показывать метки) – выделение значений на осях. На осях появляются маркеры, в которые вводят координаты выделяемых на графике точек.

Auto Grid (Автосетка) – отключение автосетки, что позволяет в нижнем окошке указать нужное количество линий сетки по оси X и Y.

В поле Ases Stule (Вид оси) можно установить следующие переключатели:

- Boxed (Отобразить по краям ) – оси устанавливаются по краям прямоугольника в наименьших точках диапазона;

- Grosed (Пересеченные) – оси устанавливаются по центру координат в точке (0,0);

- None (Не отображать) – оси не отображаются ;

- Egual Scales (равные шкалы) – разбиение осей в равном масштабе, например это важно при построении окружности.

Форматируя график, устанавливая флажки (галочки), не забывайте нажимать на кнопку применить, чтобы изучить эффект действия того или иного переключателя.

Следующая вкладка – Traces (Трассировка) предназначена для форматирования (изменения) самой линии. Она содержит следующие поля:

- Legend Label (Обозначение легенды) – поле в котором записано имя кривой (по умолчанию − Traсe1(кривая 1). В это поле можно ввести также другое название кривой, например, сos;

- Частота символов – определяет число символов на кривой;

- Symbol (Символ) – графическое обозначение точки. MathCad предлагает 10 вариантов обозначения точки;

- Ширина символа – размер графической точки. С увеличением задаваемого числа размер символа увеличивается;

- Line (Линия) − тип линии, которая может быть сплошной пунктирной и т.д. Можно вообще отказаться от линии. Следует учитывать, что MathCad по умолчанию соединяет символы отрезками прямых;

- Толщина линии – задается толщина линии (отрезков, которые соединяют символы). C увеличением задаваемого числа толщина линии увеличивается;

- Соlor (Цвет) – задается цвет линии;

- Туpe (Тип) – задается тип графика, который может быть столбиковой диаграммой, ступенчатой кривой и т.д.

После форматирования график функции синуса может выглядеть так:

MathCad способен также строить графики в автоматическом режиме, но только на отрезке [-10; 10].

Задача 11. Построить графики двух функций: y=5*sin(x) и y=5*cos(x).

Программа в MathCad:

Для построения графиков вызывают шаблон графика и в левой центральной части графика сначала записывают первую функцию, затем вводят запятую и в образовавшее нижнее поле (маркер) вводят вторую функцию. Внизу графика в центральное поле вводят аргумент, от которого зависят оба графика. В результате имеем:

При работе с графиком иногда приходится пользоваться командой трассировка (для вызова этой команды необходимо активировать график и нажать на правую клавишу мышки). Если теперь щелкнуть по кривой графика, то в соответствующих полях Х и Y окна Трассировка графика X-Y появляются координаты той точки линии, на которую указывает курсор. Такой способ позволяет быстро исследовать функцию и получить значения аргумента и функции любой точки кривой.

Другая команда, вызываемая правой клавишей мышки, − масштаб позволяет увеличивать или уменьшать участки графика. Для этого, щелкнув по графику, нажимают на правую кнопку мышки (активируют график), выбирают команду масштаб. Теперь выделяют мышкой на графике прямоугольный участок, который необходимо увеличить (уменьшить), и в появившемся окне Mасштаб графика X-Y нажимают на плюс (+), если надо увеличить рисунок, или на минус (-) , если его надо уменьшить. Эту операцию можно повторять многократно до тех пор, пока изображение не достигнет нужного масштаба.

ПрограммаMathcad позволяет строить графики в декартовых и полярных координатах. Можно строить двумерные и трехмерные графики.

1. Построение графиков в декартовой системе координат

При построении графика сначала должна быть определена независимая переменная. Например, если график строится для всех , тогда необходимо определение независимой переменной:

,

если шаг изменения переменной h. Промежуток изменения переменной можно не задавать, тогда по умолчанию будет строиться график на отрезке . Далее определяется функция, график которой строится.

Пусть необходимо построить график функции

В Mathcad-документе определяются пределы изменения аргумента и сама функция

Далее определяется расположение графика в Mathcad-документе и в меню Insert активизируется в подменю Graph команда X-Y Plot . В области графика в ячейке рядом с осью абсцисс указывается имя независимой переменной, а в ячейке рядом с осью ординат - имя функции.

Если необходимо представить в одном окне два или более графика, то в ячейку рядом с осью ординат вводятся через запятую необходимых имена функций. При этом кривые графиков представляются различным цветом.

Например, необходимо построить два графика функций с . В Mathcad-документе необходимо выполнить следующие действия.

1. Построение графиков в полярной системе координат

В программе Mathcad возможно строить графики функций, заданных в полярной системе координат.

В случае, когда начало декартовой системы, совмещено с полюсом, а полярная ось с 0х, то координаты точки связаны с полярными формулами:

Если функция, график которой следует построить, задана полярным уравнением, т.е. , необходимо в Mathcad-документе определить переменную, задающую границы изменения полярного угла :

.

Задать функцию пользователя

Для ввода греческих букв используется панель Greek (меню View , подменю Toolbar s).

Далее в меню Insert в подменю Graph активизируется команда Polar Plot . В Mathcad-документе появляется графическая область. В нижнюю область в ячейку вводится имя полярного угла, а в левую - имя функции . График в полярных координатах можно построить и с помощью команды X-Y Plot . В этом случае необходимо задать границы изменения полярного угла, т.е. определить переменную, принимающую значения из интервала. Описать функцию , как функцию двух аргументов и , используя формулы

.

Используя формулы

можно записать уравнение, заданное в полярных координатах, в декартовых координатах.

Пример 1.

Уравнение определяет уравнение окружности в полярной системе координат.

Уравнение в декартовой системе для этой окружности можно записать;

Если построить график в декартовой системе координат, то получим окружность с центром в начале координат.